Jednostavan način za rješavanje iteracija sustava linearnih jednadžbi (Slough)

Jednostavna metoda iteracije, također se naziva metoda sukcesivne aproksimacije, - matematički algoritam za pronalaženje vrijednosti nepoznate vrijednosti kroz postupno razjasniti ga. Suština ove metode je da, kao i ime implicira, postupno izražavaju početnu aproksimaciju onih kasnijih, postaju sve rafinirane rezultate. Ova metoda se koristi za pronalaženje vrijednosti varijabli u određenom funkcijom, te rješavanje sustava jednadžbi, i linearna i nelinearna.

Pogledajmo kako ova metoda se provodi u rješenje linearnog sustava. fiksna točka iteracija algoritma je kako slijedi:

1. provjera stanja konvergencije u početnoj matrici. Stapanje teorem: Ako je originalni sustav matrica dijagonalno dominantna (tj svaki red elemenata glavnoj dijagonali mora biti po iznosu veći od zbroja elemenata bočnih dijagonala u apsolutnom iznosu), metoda jednostavnih iteracija - konvergentne.

2. Matrica originalnog sustava nije uvijek dijagonale prevlast. U takvim slučajevima, sustav se može pretvoriti. Jednadžbe koje zadovoljavaju konvergencije stanje je ostalo netaknuto, a čine s nezadovoljavajućim linearne kombinacije, to jest umnožiti, oduzimanje, jednadžba sklopljena čime se dobije željeni rezultat.

Ako je primljeni sustav na glavnoj dijagonali su nezgodan faktori, a zatim na obje strane ove jednadžbe se dodaju s obzirom na oblik _i * x _I, koja treba biti u skladu sa znakovima znakova dijagonalnih elemenata.

3. Pretvorba dobivenog sustava na uobičajeni prikaz:

^{X '- β - α + *} x -

To se može učiniti na mnogo načina, na primjer, na sljedeći način: prva jednadžba izraziti x ₁ preko druge nepoznato vtorogo- x _2, x ₃ tretego- itd Tako smo prema formuli:

_{α ij = - (a ij /} Drugog)

_i = B _i / a _ii
To opet trebali bi bili sigurni da se dobije sistem normalnog tipa odgovara stanju konvergencije:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, i = 1,2, ... n

4. Počnite koristiti, zapravo, metodu uzastopnih aproksimacija.

x ⁽⁰⁾ - početni aproksimacija, da kroz njih izraziti x ^(1), nakon čega slijedi x ⁽¹⁾ x express ^(2). Opća formula obliku matrice kao što slijedi:

x ^{(N) = β - α +} * x (n- ¹⁾

Računamo, sve dok ne dođete do željenog točnost:

_{max | x i (k) X} i (k + 1) ≤ ε

Dakle, pogledajmo u praksi, metode jednostavne iteracije. primjer:
Rješavanje linearnih sustava:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 1 = 2.3x2-1.1x3
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 s točnošću ε = 10 ^-3

Pogledajte prevladati ako dijagonalnih elemenata modula.

Vidimo da je konvergencija uvjet zadovoljen od strane treće jednadžbe. Prvi i drugi transformirati, prvu jednadžbu dodamo dva:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Oduzimaju od treći:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Mi smo pretvoreni izvorni sustav u protuvrijednosti:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Sada smo smanjiti sustav na normalni pogled:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Mi smo provjeriti konvergenciju iterativnog postupka:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 1 ≤
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 1 ≤
0.383+ 0,5319 0,9149 = ≤ 1, tj uvjet zadovoljen.

0,3947
Početni aproksimacija x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Zamijeniti ove vrijednosti u jednadžbu od normalnog tipa, dobivamo sljedeće vrijednosti:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Zamjenske nove vrijednosti, dobijemo:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Mi i dalje izračunati sve dok sve dok ne dobijete bliže vrijednosti koje ispunjavaju navedene uvjete.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Provjerite ispravnost rezultata:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * * 0544 0,441-1.1x = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Rezultati dobiveni zamjenom dobivenih vrijednosti u izvornom jednadžbi, u potpunosti zadovoljavaju jednadžbu.

Kao što možemo vidjeti, jednostavna metoda iteracije daje prilično točne rezultate, ali riješiti ovu jednadžbu, morali smo potrošiti puno vremena i učiniti težak izračune.