Geometrijskog niza i njegova svojstva

Geometrijska progresija je važna u matematici kao znanosti, a primjenjuje značaj, budući da ima izuzetno širok opseg, čak iu više matematike, na primjer, u teoriji serije. Prvi podaci o tijeku je došao do nas iz starog Egipta, posebno u obliku poznatom problemu Rhind papirusu sedam osoba sa sedam mačaka. Varijacije ovog zadatka su ponavlja mnogo puta u različitim vremenima iz drugih zemalja. Čak Velikiy Leonardo Pizansky, poznat kao Fibonacci (XIII st.), Razgovarao s njom u svojoj „knjizi Abacus”.

Tako da je geometrijska progresija ima drevne povijesti. Predstavlja brojčani niz s nule prvog dijela, a svaki slijedeći, počevši od drugog je određen množenjem prethodne ponavljanje formulu pri konstantnoj, nule broj koji zove nazivnik napredovanje (obično označeni primjenom slova q).
Očito, može se naći dijeljenjem svaki sljedeći termina sekvence na prethodni, tj z 2: 1 z = ... Zn-Z n-1-.... Prema tome, za većinu progresija posao (Zn) dovoljne da se zna vrijednost prvog mandata nazivnik i y 1 q.

Na primjer, pretpostavimo z = 7 1, q = - 4 (q <0), tada se sljedeći geometrijski napredovanje se dobije 7 - 28, 112 - 448, .... Kao što možete vidjeti, što je rezultiralo slijed nije monotona.

Sjetite se da je proizvoljan slijed monoton (povećanje / smanjenje) kada je jedan od njegovih članova pratiti više / manje od prethodnog. Na primjer, slijed 2, 5, 9, ..., i -10, -100, -1000, ... - Monotonih, druga - opadajući geometrijskog niza.

U slučaju kada je q = 1, svi članovi se utvrdi da je, a to se naziva konstanta progresija.

Slijed je progresija ove vrste, mora zadovoljiti sljedeći nužan i dovoljan uvjet, a to su: počevši od drugog, svaki od njegovih članova mora biti geometrijska sredina susjednih članova.

Ovaj objekt dopušta pod određenim dva susjedna nalazište proizvoljan pojam napretka.

n-tog termina eksponencijalno lako naći formulom: Zn = z * q ^ 1 (n-1), član z znajući najprije 1 i nazivnik q.

Budući da je broj slijed ima suma, a zatim nekoliko jednostavnih izračuna nam dati formulu za izračunavanje zbroj prve napredovanje članova, i to:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Zamjenom, u formuli njegove ekspresije vrijednost z Zn 1 * q ^ (n-1), čime se dobije drugi zbirni formulu napredovanje: S = n - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Je li vrijedno pažnje sljedeće zanimljiva činjenica: tableta glina pronađen u iskopinama u drevnom Babilonu, koji se odnosi na VI. Prije Krista, sadrži izvanredan način zbroj 1 + 2 + ... + 22 + 29 jednako 2 do desetog snage minus 1. Objašnjenje ovog fenomena još nije pronađen.

Napominjemo jedan od svojstava geometrijskog niza - konstantan rad svojih članova, raspoređenih na jednakim udaljenostima od kraja niza.

Od posebnog značaja iz znanstvenog stajališta, takva stvar kao beskonačno geometrijskom progresijom i izračunavanja iznosa. Pod pretpostavkom da (in) - što je geometrijska progresija ima nazivnik q, zadovoljavajući stanje | q | <1, njegova količina se odnosi na ograničenje prema kojem smo već znali zbroj prvih članova, uz neograničene povećanjem n, onda su na to približava beskonačnosti.

Nađi taj iznos, kao rezultat pomoću formule:

S n = y 1 / (1 q).

I, kao što je iskustvo pokazalo, za prividne jednostavnosti ove progresije skriven ogroman aplikacija potencijal. Na primjer, ako se konstruirati slijed kvadrata prema slijedećoj algoritam, spaja polovišta prethodnog, zatim tvore beskrajnu kvadratni geometrijskog niza koji ima nazivnik 1/2. Isto progresija oblik i površina trokuta, dobiti u svakoj fazi gradnje, a njihova suma je jednaka području izvornog trga.