Konveksni poligoni. Definicija konveksnog poligona. Dijagonalnosti konveksnog poligona

Ove geometrijske figure nas okružuju posvuda. Konveksni poligoni su prirodni, na primjer, pčelinji ili umjetni (stvoreni od strane ljudi). Ove brojke se koriste u izradi različitih vrsta premaza, slikanja, arhitekture, ukrasa itd. Konveksni poligoni imaju svojstvo da su sve njihove točke smještene na jednoj strani linije koja prolazi kroz par susjednih vrhova ove geometrijske figure. Postoje i druge definicije. Konveks je taj poligon koji se nalazi u jednoj polovici u odnosu na bilo koju liniju koja sadrži jednu od njegovih strana.

Konveksni poligoni

U elementarnoj geometriji, uvijek uzmemo u obzir samo jednostavne poligone. Da biste razumjeli sva svojstva takvih geometrijskih figura potrebno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak treba razumjeti da se sve linije čiji se završni ciljevi podudaraju zove zatvoreni. I lik koji je formirao može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena poligonalna linija čije susjedne veze ne leže na istoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, odnosno, strane i vrhovi ove geometrijske figure. Jednostavna poliklina ne smije imati samo-raskrižja.

Vrhovi poligona se nazivaju susjedni ako predstavljaju krajeve jedne od njezinih strana. Geometrijska slika koja ima n-taj broj vrhova, a time i n-taj broj stranica, naziva se n-gon. Slomljena crta se zove granica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonalna ravnina ili ravninski poligon naziva se konačni dio bilo koje ravnine kojom ga ograničava. Susjedne strane ove geometrijske figure su segmenti isprekidane linije počevši od jednog vrška. Oni neće biti susjedni ako dolaze iz različitih vrhova poligona.

Ostale definicije konveksnih poligona

U elementarnoj geometriji postoji više ekvivalentnih definicija u smislu njezine vrijednosti, što označava poligon koji se naziva konveks. I sve te formulacije su jednako istinite. Konveksni poligon se smatra:

• svaki segment koji povezuje bilo koje dvije točke unutar njega leži potpuno u njemu;

• unutar njega leže sve njegove dijagonale;

• Bilo koji unutarnji kut ne prelazi 180 °.

Poligon uvijek dijeli zrakoplov na dva dijela. Jedan od njih je ograničen (može biti zatvoren u krug), a drugi je neograničen. Prva se zove unutarnja regija, a druga se zove vanjski dio ove geometrijske figure. Ovaj poligon je raskrižje (drugim riječima - zajednička komponenta) nekoliko pola ravnina. U tom slučaju, svaki segment koji završava na točkama koje pripadaju poligonu u potpunosti pripada.

Vrste konveksnih poligona

Definicija konveksnog poligona ne znači da postoji mnogo vrsta njih. I svaki od njih ima određene kriterije. Dakle, konveksni poligoni koji imaju unutarnji kut jednak 180 ° nazivaju se slabo konveksni. Konverzalna geometrijska figura koja ima tri vrška naziva se trokut, četvero je četverokut, pet je pentagon, itd. Svaki od konveksnih n-gona zadovoljava sljedeće najvažnije zahtjeve: n mora biti jednak ili veći od 3. Svaki od trokuta je konveksan. Geometrijska slika ovog tipa, u kojoj se svi vrhovi nalaze na jednom krugu, zove se upisana u krug. Konveksni poligon zove se opisan ako ga dodiruju sve njegove strane u blizini kruga. Dva poligona nazivaju se jednakima samo ako se mogu kombinirati preklapanjem. Poligonalna ravnina zove se ravninski poligon (dio ravnine) koji je ograničen ovom geometrijskom figurom.

Ispravni konveksni poligoni

Ispravni poligoni su geometrijske figure s jednakim kutovima i stranama. Unutar njih nalazi se točka 0, koja je na istoj udaljenosti od svakog od njegovih vrhova. Naziva se središtem ove geometrijske figure. Segmenti koji povezuju središte s vrhovima ove geometrijske figure nazivaju se apopemije, a oni koji povezuju točku 0 sa stranama su širine.

Pravi četverokut je trg. Redoviti trokut zove se jednakostraničan. Za takve figure postoje sljedeća pravila: svaki kut konveksnog poligona je 180 ° * (n-2) / n,

Gdje je n broj vrhova ove konveksne geometrijske figure.

Područje bilo kojeg redovitog poligona definirano je formulom:

S = p * h,

Gdje je p jednak polovini zbroja svih strana danog poligona, a h jednaka duljini apopheme.

Svojstva konveksnih poligona

Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, segment koji povezuje bilo koje dvije točke takve geometrijske figure nužno se nalazi u njemu. dokaz:

Pretpostavimo da je P određeni konveksni poligon. Uzimamo 2 arbitrarne točke, na primjer, A, B, koje pripadaju P. Prema postojećoj definiciji konveksnog poligona, te točke nalaze se na jednoj strani linije koja sadrži bilo koju stranu P. Dakle, AB također ima tu svojinu i nalazi se u P. Konveksni poligon je uvijek Moguće je podijeliti na više trokuta apsolutno sve dijagonale koje su izvučene iz jednog od njegovih vrhova.

Kutovi konveksnih geometrijskih slika

Kutovi konveksnog poligona su kutovi koji se formiraju sa strane. Unutarnji uglovi su u unutarnjem području ove geometrijske figure. Kut koji je oblikovan sa strane, koji se konvergiraju u jednom vrhu, naziva se kut konveksnog poligona. Kutovi susjedni unutarnjim kutovima određene geometrijske figure nazivaju se vanjski. Svaki kut konveksnog poligona koji se nalazi unutar nje jednak je:

180 ° - x,

Gdje je x vrijednost vanjskog kuta. Ova jednostavna formula odnosi se na sve geometrijske figure ove vrste.

Općenito, za vanjske kutove, postoji sljedeće pravilo: svaki kut konveksnog poligona je jednak razlici između 180 ° i vrijednosti unutarnjeg kuta. Može imati vrijednosti u rasponu od -180 ° do 180 °. Stoga, kada je unutarnji kut 120 °, vanjski kut će biti 60 °.

Zbroj kutova konveksnih poligona

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog poligona određen je formulom:

180 ° * (n-2),

Gdje je n broj vrhova n-gona.

Zbroj kutova konveksnog poligona izračunava se jednostavno. Razmotrite takvu geometrijsku figuru. Da bi se odredio zbroj kutova unutar konveksnog poligona, jedan od njegovih vrhova mora biti povezan s drugim vrhovima. Kao rezultat ove akcije, dobivamo (n-2) trokuta. Poznato je da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta uvijek 180 °. Budući da je njihov broj u bilo kojem poligonu jednak (n-2), zbroj unutarnjih kutova takve slike je 180 ° x (n-2).

Zbroj kutova konveksnog poligona, naime bilo koja dva unutarnja i susjedna vanjska kuta, za određenu geometrijsku konveksnu figuru uvijek će biti 180 °. Polazeći od toga, moguće je odrediti zbroj svih njegovih kutova:

180 h n.

Zbroj unutarnjih kutova je 180 ° * (n-2). Polazeći od toga, zbroj svih vanjskih kutova navedene figure određuje se formulom:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Zbroj vanjskih kutova bilo kojeg konveksnog poligona uvijek će biti 360 ° (bez obzira na broj svojih stranica).

Vanjski kut konveksnog poligona općenito se prikazuje razlika između 180 ° i vrijednosti unutarnjeg kuta.

Ostala svojstva konveksnog poligona

Pored osnovnih svojstava tih geometrijskih figura, oni imaju i druge koji se pojavljuju prilikom manipulacije njima. Dakle, bilo koji od poligona može se podijeliti u nekoliko konveksnih n-gona. Za to je potrebno nastaviti svaku stranu i izrezati ovu geometrijsku figuru duž ovih ravnih linija. Možete podijeliti bilo koji poligon u nekoliko konveksnih dijelova i na takav način da se vrhovi svakog od komada podudaraju sa svim svojim vertices. Iz ove geometrijske slike vrlo je lako napraviti trokute tako da drže sve dijagonale iz jednog vrška. Dakle, svaki poligon, u konačnoj analizi, može se podijeliti na određeni broj trokuta, što je vrlo korisno u rješavanju različitih problema povezanih s takvim geometrijskim likovima.

Opseg konveksnog poligona

Segmenti isprekidane linije, zvane strane poligona, najčešće su označeni sljedećim slovima: ab, bc, cd, de, ea. To su strane geometrijske figure s vrhovima a, b, c, d, e. Zbroj duljina svih strana ovog konveksnog poligona zove se njezin perimetar.

Krug poligona

Konveksni poligoni mogu biti upisani i opisani. Krug koji dodiruje sve strane ove geometrijske figure naziva se upisan u njega. Takav poligon se zove opisano. Središte kruga koji je upisan u poligonu je točka križanja bisectora svih kutova unutar određene geometrijske figure. Područje takvog poligona jednako je:

S = p * r,

Gdje je r polumjer upisane kružnice, a p je semiperimetar danog poligona.

U njemu se opisuje krug koji sadrži vrhove poligona. U ovom slučaju, ova konveksna geometrijska slika zove se upisana. Središte kruga, koji je opisan u blizini takvog poligona, predstavlja točku sjecišta tzv. Središnjih perpendikula svih strana.

Dijagonalne konveksne geometrijske slike

Dijagonalnosti konveksnog poligona su segmenti koji ne povezuju susjedne vertice. Svaki od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-gona određen je formulom:

N = n (n-3) / 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trokuta (K), u koji se svaki konveksni poligon može slomiti, izračunava se sljedećom formulom:

K = n - 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona uvijek ovisi o broju njegovih vrhova.

Odjeljivanje konveksnog poligona

U nekim slučajevima, za rješavanje geometrijskih problema, potrebno je razbiti konveksni poligon u više trokuta s razdvojenim dijagonalama. Taj se problem može riješiti dobivanjem određene formule.

Definicija problema: pozivamo određenu razgradnju konveksnog n-gona u više trokuta dijagonalama koje se križaju samo na vrhovima ove geometrijske figure.

Rješenje: Pretpostavimo da su P1, P2, P3 ..., Pn vertikali ovog n-gona. Broj Xn je broj njezinih particija. Pažljivo razmotrimo rezultirajuću dijagonalu geometrijske figure Pi Pn. U bilo kojoj od redovitih particija P1 Pn pripada određenom trokutu P1 Pi Pn, za koji je 1

Neka i = 2 bude jedna grupa redovnih particija, koja uvijek sadrži dijagonalu P2 Pn. Broj particija koje ulaze u nju odgovara broju particija (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Drugim riječima, jednak je Xn-1.

Ako je i = 3, ova druga grupa particija uvijek će sadržavati dijagonalu P3 P1 i P3 Pn. U ovom slučaju broj redovnih particija sadržanih u ovoj skupini podudara se s brojem particija (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Drugim riječima, bit će jednak Xn-2.

Ako je i = 4, tada među trokutima redovna particija nužno sadrži trokut P1 P4 Pn na koji se susreće četverostrana P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn. Broj regularnih particija takvog četverokuta jednak je X4, a broj particija (n-3) -gona je jednak Xn-3. Na temelju svega navedenog možemo reći da je ukupan broj redovnih particija sadržanih u ovoj skupini jednak Xn-3 X4. Ostale skupine za koje i = 4, 5, 6, 7 ... sadržavat će Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... redovnih particija.

Ako je i = n-2, broj redovnih particija u datoj skupini podudara se s brojem particija u skupini za koju je i = 2 (drugim riječima, jednako je Xn-1).

Budući da X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., tada je broj svih particija konveksnog poligona jednak:

Xn-Xn-Xn-Xn-2 Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

primjer:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Broj redovnih particija koje presijecaju jednu dijagonalu

U verifikaciji pojedinih slučajeva može se pretpostaviti da je broj dijagonala konveksnih n-gona jednak proizvodu svih particija ove figure (n-3).

Dokaz ove pretpostavke: pretpostavimo da P1n = Xn * (n-3), tada se bilo koji n-gon može raspasti u (n-2) -tangrijele. Istovremeno, jedan od njih može se kombinirati (n-3) - četverokut. Uz to, svaka četverostrana će imati dijagonale. Budući da se u ovoj konveksnoj geometrijskoj slici mogu nacrtati dvije dijagonale, to znači da je moguće nacrtati dodatne dijagonale (n-3) u bilo kojem (n-3) četverokuta. Polazeći od toga, može se zaključiti da je u bilo kojoj redovnoj particiji moguće izvesti (n-3) -dijagonalne oblike koji odgovaraju uvjetima ovog problema.

Područje konveksnih poligona

Često, pri rješavanju različitih problema osnovne geometrije, postaje potrebno odrediti područje konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi Yi), i = 1,2,3 ... n sekvencija koordinata svih susjednih vrhova poligona koji nemaju samo-raskrižja. U ovom se slučaju njezino područje izračunava sljedećom formulom:

S = ½ (Σ (X _i + X _{i + 1} ) (Y _i + Y _{i + 1} )),

Gdje (X1, Y1) = (X _{n +1} , _{Yn + 1} ).