Teorija vjerojatnosti. Vjerojatnost nekog događaja, događaj ili vrsta događaja (teorija vjerojatnosti). Nezavisni i nekompatibilni kretanja u teoriji vjerojatnosti

Malo je vjerojatno da mnogi ljudi misle da je moguće računati događaja, koji donekle slučajno. Staviti ga u jednostavnim riječima, to je realno da znaju koja je strana kocke u kocke će pasti sljedeći put. Bilo je to pitanje koje treba postaviti dva velika znanstvenika, postavio temelje za ove znanosti, teorije vjerojatnosti, vjerojatnost događaja u kojem je studirao dovoljno intenzivno.

generacija

Ako pokušate definirati takav koncept kao teorije vjerojatnosti, dobijemo sljedeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Jasno, ovaj koncept zapravo ne otkriva suštinu, tako da ćete morati uzeti u obzir u više detalja.

Želio bih početi s osnivača teorije. Kao što je gore spomenuto, postoje dvije, koje Per Ferma i Blez Paškal. Oni su bili prvi pokušaj pomoću formule i matematičke izračune za izračunavanje ishod događaja. Općenito, što su temelji ove znanosti je još u srednjem vijeku. Iako su različiti mislioci i znanstvenici pokušali analizirati casino igre kao što su rulet, craps, i tako dalje i tako uspostaviti uzorak, a postotak gubitak broja. Zaklada je također položen u sedamnaestom stoljeću bilo je navedeni znanstvenici.

U početku, njihov rad ne može pripisati velikim postignućima u ovom području, nakon svega, što su radili, oni su jednostavno empirijske činjenice i eksperimenti su jasno bez upotrebe formula. Tijekom vremena, ispostavilo se postići velike rezultate, koji se pojavio kao posljedica promatranja cast kostiju. To je ovaj instrument je pomogao donijeti prvi različita formula.

pristaše

Da ne spominjem čovjek kao što Christiaan Huygens, u procesu proučavanja subjekt koji nosi ime „teorije vjerojatnosti” (vjerojatnost događaja to ističe u ovoj znanosti). Ova osoba je vrlo zanimljiva. On je, kao i znanstvenici ranije predstavljeni su pokušali u obliku matematičkih formula zaključiti uzorak slučajnih događaja. Važno je napomenuti da nije to podijeliti s Pascal i Fermat, to je sve njegovo djelo ne preklapa s tim mislima. Huygens izvedene osnovne pojmove teorije vjerojatnosti.

Zanimljivo je da je njegov rad je došao davno prije rezultata radovima pionira, točnije, prije dvadeset godina. Postoje samo među pojmovima identificirani su:

• kao koncept vrijednosti vjerojatnosti slučajno;
• očekivanje za diskretne slučaj;
• pravila u dodavanja i umnožavanje vjerojatnosti.

Isto tako, ne može se zaboraviti Yakoba Bernulli, koji je također pridonio proučavanju problema. Kroz svoje, od kojih niti su nezavisni testovi, on je bio u mogućnosti pružiti dokaz o zakonu velikih brojeva. S druge strane, znanstvenici Poissonova i Laplaceova, koji je radio u ranom devetnaestom stoljeću, bili su u stanju dokazati izvornu teorem. Od tog trenutka analizirati pogreške u promatranjima smo počeli koristiti teorija vjerojatnosti. Strana oko ove znanosti ne može i ruski znanstvenici, a Markov Čebiševljev i Dyapunov. Oni se temelje na obavljenom poslu velikih genija, osiguran subjekt kao grane matematike. Radili smo ove iznose krajem devetnaestog stoljeća, a zahvaljujući njihovom doprinosu, su dokazali fenomene kao što su:

• zakon velikih brojeva;
• Teorija Markovljevim lanaca;
• Središnji granični teorem.

Dakle, povijest rođenja znanosti i sa glavnim ličnostima koje su doprinijele tome, sve je više ili manje jasno. Sada je vrijeme da se meso iz sve činjenice.

osnovni pojmovi

Prije nego što dodir zakoni i teoremi trebaju naučiti osnovne pojmove teorije vjerojatnosti. Događaj zauzima dominantnu ulogu. Ova tema je prilično opsežna, ali neće biti u stanju razumjeti sve ostalo bez njega.

Događaj u teoriji vjerojatnosti - to Svaki skup ishoda eksperimenta. Pojmovi ovog fenomena nema dovoljno. Dakle, Lotman znanstvenik radi na ovom području, izrazio je da se u ovom slučaju radi se o tome što se „dogodilo, iako se ne može dogoditi.”

Slučajni događaji (teorija vjerojatnosti posebnu pažnju na njih) - je koncept koji uključuje apsolutno nikakvu fenomen ima mogućnost da se dogodi. Ili, naprotiv, ovaj scenarij ne može se dogoditi u obavljanju raznih uvjeta. Također je vrijedno znati koji zauzimaju cijeli volumen fenomena koji se pojavljuju samo nasumične događaje. teorija vjerojatnosti sugerira da svi uvjeti se mogu ponavljati stalno. To je njihovo ponašanje je pod nazivom „iskustvo” ili „test”.

Značajan događaj - to je fenomen koji je sto posto u ovom testu dogoditi. Prema tome, nemoguće događaj - to je nešto što se ne događa.

Kombiniranje parova djelovanje (standardni slučaj A i B) predmet je fenomen koji se javlja istovremeno. Oni se nazivaju AB.

Količina para događaja A i B - C se, drugim riječima, ako je barem jedna od njih (A ili B), te dobiti C. formula opisani fenomen piše kao C = A + B

Nepodudarni kretanja u teoriji vjerojatnosti podrazumijeva da su dva slučaja se međusobno isključuju. U isto vrijeme oni su u svakom slučaju ne može dogoditi. Zajednički događaji u teoriji vjerojatnosti - to je njihov antipod. Implikacija je da ako se dogodilo, to ne isključuje C.

Protivnik događaj (teorija vjerojatnosti ih smatra vrlo detaljno), su lako razumjeti. To je najbolje da se s njima u usporedbi. Oni su gotovo isti kao nespojive kretanja u teoriji vjerojatnosti. Međutim, njihova razlika je da je jedan od mnoštva pojava u svakom slučaju trebalo dogoditi.

Jednako vjerojatno događaji - te radnje, mogućnost ponavljanja jednaka. Da se razumijemo, možete zamisliti bacanjem novčića: gubitak jednog od njegove strane je jednako vjerojatno gubitak druge.

lakše je uzeti u obzir primjer favoriziranja događaj. Pretpostavimo da postoji jedna epizoda u epizodu A. prvi - svitak umrijeti s dolaskom neparnim brojem, a drugi - Izgled broj pet na kockice. Onda ispada da je A omiljeno V.

Nezavisni događaji u teoriji vjerojatnosti su projicirane samo na dva ili više navrata i uključiti neovisno o bilo akcije iz drugog. Na primjer, - na gubitak repovi bacanjem novčića, i B - dostavanie utičnicu sa palube. Oni imaju nezavisne događaje u teoriji vjerojatnosti. Od tog trenutka je postalo jasno.

Zavisni događaji u teoriji vjerojatnosti je dopušteno samo za njihovu set. Oni podrazumijevaju ovisnost jedan na drugoga, to jest fenomen može pojaviti u samo u slučaju kada je već došlo, ili, naprotiv, nije dogodilo kad je - glavni uvjet za B

Ishod slučajnog eksperimenta koja se sastoji od jednog dijela - to je elementarna događaja. teorija vjerojatnosti kaže da je to fenomen koji se obavlja samo jednom.

osnovna formula

Dakle, gore navedeni su smatrani pojam „događaj”, „teorija vjerojatnosti”, definicije ključnih pojmova iz ove znanosti je također dobio. Sada je vrijeme da se upozna s važnim formulama. Ovi izrazi su matematički potvrdio sve glavne koncepte u tako teškom predmetu teorije vjerojatnosti. Vjerojatnost događaja i igra veliku ulogu.

Bolje je početi s osnovnim formulama kombinatorika. I prije nego što ih počnete, to vrijedi s obzirom na ono što je.

Kombinatorika - prvenstveno grana matematike, on je studirao veliki broj prirodnih brojeva i raznih permutacija oba brojeva i njihovih elemenata, raznih podataka, itd, što dovodi do niza kombinacija ... Osim teorije vjerojatnosti, ova industrija je važna za statistiku, računalnih znanosti i kriptografije.

Tako sada možete premjestiti na predstavljanju sebe i svoje definicije formulama.

Prvi od njih je izraz za broj permutacija, to je kao što slijedi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1-n!

Jednadžba vrijedi samo u slučaju ako su elementi razlikuju samo u poretku dogovoru.

Sada formula plasman, to izgleda ovako će se smatrati:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Ovaj izraz se ne odnosi samo na jedinom elementu naručivanja, već i na njegov sastav.

Treća jednadžba kombinatorike, te je potonji naziva formulu broja kombinacija:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinacija naziva uzorkovanje, koji nisu naručili, odnosno, da se i primjenjuju ovo pravilo.

Sa formulama kombinatorika došao lako razumjeti, sada možete ići na klasičnu definiciju vjerojatnosti. Izgleda da je ovaj izraz kao što slijedi:

P (A) = m: br.

U ovoj formuli, m - broj uvjetima koji dovode do događaja A, a n - broj jednako i potpuno sve elementarnih događaja.

Postoji mnogo izraza u članku neće biti uzete u obzir sve prije nego pogođeni će biti najvažnije, kao što su, na primjer, vjerojatnost događaja iznosi:

P (A + B) = P (A) + (P) B - to teorem za dodavanje samo međusobno isključiva događaja;

P (A + B) = P (A) + (P) B - P (AB) - ali to je samo za dodavanje kompatibilni.

Vjerojatnost radova događaja:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - to teorem za nezavisne događaje;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A) P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - i to za ovisne.

Završio popis događaja formuli. Teorija vjerojatnosti govori nam teorem Bayes, koji izgleda ovako:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

U ovoj formuli, H _{1, H2,} ..., _Hn - je komplet hipoteza.

Na ovoj stanici, uzorke formule aplikacija će sada biti uzeti u obzir za posebne zadatke iz prakse.

primjeri

Ako pažljivo proučiti svaku granu matematike, nije bez vježbi i otopinama uzorka. A teorija vjerojatnosti: Događaji, primjeri ovdje su sastavni dio potvrde znanstvene izračune.

Formula za broj permutacija

Na primjer, u kartice palube imaju trideset kartice, počevši od nominalne jedan. Sljedeće pitanje. Koliko mnogo načina da odustanu palube, tako da su kartice s nominalne vrijednosti od jedne i dvije nisu se nalazi pored?

Zadatak je postavljen, sada ćemo prijeći na nositi se s njom. Prvo morate odrediti broj permutacija trideset elemenata, za tu svrhu uzmemo gornju formulu, ispada P_30 = 30!.

Na temelju tog pravila, znamo koliko opcije postoje položiti palube na mnogo načina, ali moramo biti oduzet od njih su one u kojima su prvi i drugi kartica će biti sljedeći. Da biste to učinili, početi s varijantom, kada se prvi put nalazi na drugom. Ispada da je prva karta može potrajati dvadeset i devet mjesta - od prvog do dvadeset devetog, a druga kartica od drugog do trideset, okreće dvadeset i devet sjedala za parove karata. S druge strane, drugi mogu uzeti dvadeset i osam sjedala, te u bilo kojem redoslijedu. To je, za preuređenju dvadeset i osam karata su dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Rezultat toga je da ako uzmemo u obzir odluku, kada je prvi kartica na drugom dodatnom mogućnosti da biste dobili 29 ⋅ 28! = 29!

Koristeći istu metodu, trebate izračunati broj suvišnih mogućnosti za slučaj kada se nalazi prvi kartica pod sekunde. Isto tako dobiva 29 ⋅ 28! = 29!

Iz toga slijedi da su dodatne opcije 2 ⋅ 29!, A potrebna sredstva za prikupljanje palube 30! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da izračunati.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebamo pomnožiti zajedno sve brojeve od jedan do dvadeset i devet, a onda na kraju sve pomnoži sa 28. Odgovor dobiti 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Primjeri otopine. Formula za broj smještaja

U ovom problemu, morate saznati koliko ima načina da se stavi petnaest svezaka na polici, ali pod uvjetom da samo trideset svezaka.

U ovom zadatku, odluka je malo lakše nego prethodne. Upotreba već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj od trideset lokacija petnaest svezaka.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odgovor, odnosno iznosit će 202 843 204 931 727 360 000.

Sada se zadatak malo teže. Morate znati koliko ima načina da se dogovoriti trideset i dvije knjige na policama, pod uvjetom da je samo petnaest svezaka može se nalaziti na istoj polici.

Prije početka odluke bih pojasniti da su neki od problema može se riješiti na više načina, a to postoje dva načina, ali je primjenjiva kako jedna te ista formula.

U ovom zadatku, možete se odgovor od prethodnog, jer tamo smo izračunali koliko puta možete ispuniti policu za petnaest knjiga na različite načine. Pokazalo A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Druga regimenta izračunava formulom preustroj, jer se nalazi petnaestak knjiga, a ostatak petnaest. Mi koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispada da je zbroj će A_30 ^ 15 ⋅ P_15 načine, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest će biti pomnožen proizvod brojevima od jedan do petnaest, na kraju ispalo proizvod svih brojeva od jedan do sedam, to je odgovor 30!

Ali ovaj se problem može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za tridesetak knjiga. Svi oni su postavljeni na ovoj razini, nego zato što je stanje zahtijeva da postoje dvije police, jedna duga mi piljenje na pola, dva zavoja petnaest. Iz toga ispada da za ovaj aranžman može biti P_30 = 30!.

Primjeri otopine. Formula za broj kombinacija

Tko se smatra varijanta trećeg problem kombinatorika. Morate znati koliko načina postoji dogovoriti petnaest knjiga na uvjet da morate izabrati trideset isto.

Za odluku će, naravno, primijeniti formulu za broj kombinacija. Od uvjetom da postaje jasno da je redoslijed istih petnaest knjiga nije važno. Dakle, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija trideset petnaest knjiga.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraćem mogućem roku riješiti takav problem, odgovor, odnosno, jednako 155,117,520.

Primjeri otopine. Klasična definicija vjerojatnosti

Koristeći formulu dana gore, može se naći odgovor na jednostavan zadatak. Ali to će se jasno vidjeti i pratiti tijek akcije.

Zadatak s obzirom da je u urni postoji deset potpuno identične lopte. Od tih, četiri žuta i šest plava. Preuzeto iz urne jednom loptom. Potrebno je znati vjerojatnost dostavaniya plave.

Kako riješiti problem potrebno je odrediti dostavanie plava lopta događaj A. To iskustvo može imati deset ishoda, koji se, pak, osnovne i jednako vjerojatno. Istodobno, šest od deset su povoljni za događaj A. Riješite sljedeću formulu:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Primjena ovu formulu, naučili smo da je mogućnost dostavaniya plavoj lopti je 0,6.

Primjeri otopine. Vjerojatnost iznosa događaja

Tko će biti varijanta koja je riješen pomoću formula vjerojatnosti iznosa događaja. Dakle, s obzirom na stanje koje postoje dva slučaja, prvi je sivo i pet bijelih kuglica, dok je drugi - osam sive i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, prvi i drugi kutije su se na jednom od njih. Potrebno je saznati što su šanse da je nedostajalo loptice su siva i bijela.

Kako bi riješio ovaj problem, potrebno je identificirati događaj.

• Dakle, A - imamo sivu loptu od prve kutije: P (A) = 1/6.
• A '- bijeli žarulja također uzima iz prvog kutije: P (A') = 5/6.
• Da - su već ekstrahirana siva kugla druge cijevi: (P) B = 2/3.
• B '- je sivi lopte drugog ladice: P (B') = 1/3.

Prema problema potrebno je da je jedan od fenomena dogodilo: AB „ili” B. Pomoću formule dobivamo: P (ab „) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Sada je korištena formula množenjem vjerojatnosti. Dalje, kako bi saznali odgovor, morate primijeniti svoje jednadžbe i dodao:

P = P (AB '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

Tako je, koristeći formulu, možete riješiti takve probleme.

rezultat

U radu je predstavljena informacija o „teoriji vjerojatnosti”, vjerojatnost događaja koji igraju važnu ulogu. Naravno, ne sve je uzeti u obzir, ali na temelju teksta prikazanog, što teoretski mogu upoznati s ovom grane matematike. Smatra znanost može biti korisno ne samo u profesionalnom poslu, ali iu svakodnevnom životu. Možete ga koristiti za izračunavanje svaku mogućnost događaja.

Tekst je također pod utjecajem značajnih datuma u povijesti razvoja teorije vjerojatnosti kao znanosti, te imena ljudi čija djela su stavili u nju. Tako je ljudska znatiželja dovela je do činjenice da su ljudi naučili računati, čak i slučajnih događaja. Nakon što su samo zainteresirani za to, ali danas je već poznato svima. I nitko ne može reći što će se dogoditi s nama u budućnosti, što druge briljantne otkrića povezana s teorijom u obzir, biti počinjena. Ali jedno je sigurno - studija još uvijek se ne isplati!