Redovna polyhedra: elementi simetrije i područje

Geometrija je lijepa jer, za razliku od algebre, što nije uvijek jasno zašto i što mislite, daje vizualni objekt. Ovaj predivan svijet različitih tijela krasiti redovite poliedra.

Opće informacije o redovitom poliedra

Prema mnogim, redovitim poliedara, ili kako ih zovu Platon tvari, posjeduju jedinstvena svojstva. Uz ove predmete povezane nekoliko znanstvenih hipoteza. Kada početi učiti geometrijskih podataka u tijelu, shvatit ćete da gotovo ne znaju ništa o takvom konceptu kao regularnom poliedra. Prezentacija tih objekata u školi nije uvijek zanimljiva, pa mnogi ne sjećaju što su bili pozvani. U spomen na većinu ljudi to je samo kocka. Nitko od geometrije tijela ne posjeduje takvo savršenstvo kao redovne poliedara. Sva imena tih geometrijskih tijela potječe iz antičke Grčke. Oni predstavljaju broj lica: tetraedar - četverostrana, heksahedron - Allen, oktaedar - osmerokut, dodekaedar - dodecahedral, ikozaedra - icosahedral. Sve te geometrijskih tijela zauzima važno mjesto u Platonovu koncepciju svemira. Četiri od njih su utjelovljena elemente ili entitete: tetraedar - vatra, ikozaedra - kocka voda - zemlja, oktaedar - zrak. Dodekahedron utjelovljuje sve. On se smatra glavnom, kao simbol svemira.

Generalizacija pojma polyhedron

Poliedar je konačan skup poligona, i dodatno:

• svaki od strane bilo koje od poligona je u isto vrijeme samo jedna strana drugoj poligona na istoj strani;
• iz svake od poligona možete prošetati do druge strane prolazi neposredno pored njih poligona.

Poligona tvore poliedra predstavljaju njegove lica i njihove bočne - rebra. poliedra vrhovi su vrhovi poligona. Ako pojam poligon razumjeti stan zatvorene polilinije, a zatim se na jednu definiciju poliedra. U slučaju kada ovim pojmom misli se na dio ravnine koji je omeđen crtkanom linijom, podrazumijevat će se površina sastoji od poligonalnih komada. Konveksni poliedar se zove tijelo leži na jednoj strani ravnine, u susjedstvu svojih lica.

Druga definicija polyhedron i njegovih elemenata

Poliedar zove površine koja se sastoji od poligona, što ograničava geometrijska tijela. To su:

• non-konveksan;
• konveksna (pravo i krivo).

Redovito poliedar - je konveksni poliedar s maksimalnom simetrije. Elementi redovne poliedra:

• Tetrahedron: 6 rebra 4 lica 5 vrhovi;
• heksahedron (kocka) 12, 6, 8;
• dodekahedron 30, 12, 20;
• oktaedar 12, 8, 6;
• ikozaedra 30, 20, 12.

Euler teorem

Ona uspostavlja odnos između broja rubova, vrhova i lica su topološki ekvivalentan sferi. Dodavanje broj vrhova i lica (B + D), imati različite redovito poliedra i usporedbom s brojem rebara, moguće je postaviti jedan pravilo: zbroj broja lica jednak broju vrhova i rubova (P) povećan je 2. Moguće je izvesti jednostavnu formulu:

• B + D = P + 2.

Ova formula vrijedi za sve konveksnog poliedra.

osnovni definicije

Koncept redovnoj polyhedron je nemoguće opisati u jednoj rečenici. To je više cijenjena i volumen. Tijelo treba prepoznati kao takva, potrebno je da ispunjava niz definicija. Prema tome, geometrijski tijelo će biti redoviti poliedar kada su zadovoljeni ovi uvjeti:

• je konveksan;
• isti broj rebara konvergira na svakoj od svojih vrhova;
• sve aspekte njegove - pravilni mnogokut, što je jednako jedni druge;
• Svi plošni kut kutovi su jednaki.

Svojstva redovne poliedra

Postoji 5 različitih vrsta redovitog poliedra:

1. Kocka (heksahedron) - ima stan šiljasti kut je 90 °. Ima 3-sided kut. Količina lice kutovi na vrhu 270 °.
2. Tetrahedron - stan šiljasti kut - 60 °. Ima 3-sided kut. Količina lice kutovi na vrhu - 180 °.
3. Oktaedar - stan šiljasti kut - 60 °. To je četverostrana kut. Količina lice kutovi na vrhu - 240 °.
4. Dodekahedron - stan šiljasti kut 108 °. Ima 3-sided kut. Iznos lice kutovi na vrhu - 324 °.
5. Ikozaedra - ima ravnu šiljasti kut od - 60 °. Ima pet sided kut. Iznos lice kutovi na vrhu 300 °.

Područje redovne poliedra

Površina od geometrijskih tijela (S) izračunava se kao običnog poligona u području pomnožen broja faseta (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / str.

Volumen redovito polyhedron

Ova vrijednost se izračunava umnožak volumena redovito piramide čija je baza običnog poligona, broj lica, a visina je upisano polumjer kugle (r):

• V = 1: 3RS.

Količine redovne poliedra

Kao i bilo koji drugi geometrijski čvrste, redovitim poliedra imaju različite volumene. Ovdje su formula po kojoj se mogu izračunati:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaedar: α x 3√2: 3;
• ikozaedra; α x 3;
• heksahedron (kocka): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementi redovne poliedra

Heksahedron i oktaedar su dvojni geometrijskih tijela. Drugim riječima, oni mogu izaći iz međusobno u slučaju da centroid jednom uzima kao vrhu druge, i obratno. Također su dual ikozaedra i dodekaedar. Sam samo tetraedar je dvostruki. Prema načinu Euclid može se dobiti iz dodekahedron heksaedra izgradnjom „krov” na licima kocke. Vrhovi tetraedra jesu 4 vrhovi kocke, a ne uz susjedni parovi ruba. Od heksahedron (kocke) se može dobiti i druge redovne poliedra. Unatoč činjenici da je pravilni mnogokut postoji bezbroj, redovito polyhedra, postoji samo 5.

Polumjeri redovite poligona

Uz svaku od tih geometrijskih tijela povezani su koncentrične sfere 3:

• opisana prolazi kroz tjemena;
• upisane u vezi svakog od svojih lica u sredini njega;
• Medijan o svim rubove u sredini.

Radijus sfere opisan sljedećom formulom izračunava:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Polumjer upisane kugle se izračunava na sljedeći način:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

gdje θ - kut otvaranja koja je između susjednih aspekata.

Medijan polumjer sfere može se izračunati pomoću slijedeće formule:

• ρ = COS π / p: 2 sin π / h,

gdje je h = veličinu od 4,6, 6,10, odnosno 10. omjer polumjera od upisane opisan i simetrično u odnosu na p i q. Ona se izračunava na sljedeći način:

• R / r = π tg / p x tg π / q.

Simetrija poliedra

Simetrija regularnom poliedra je od primarnog interesa za tih geometrijskih tijela. Razumljivo je kao pokret tijela u prostoru, što ostavlja isti broj vrhova, lica i rubova. Drugim riječima, pod utjecajem simetrične transformacije rub, tjeme, ili lice zadržava svoj izvorni položaj, ili se pomiče na početnu poziciju drugog rebra, drugim vrhova ili lica.

Elementi simetrije regularnom poliedra su zajednički za sve vrste geometrijskih tijela. Ovdje je provedeno na transformaciju identiteta, što ostavlja bilo koji od točaka u početni položaj. Dakle, kada uključite poligonalni prizma može dobiti neke simetrije. Svaka od njih može biti predstavljen kao proizvod promišljanja. Simetrija, koja je produkt paran broj refleksija, pod nazivom izravan. Ako je proizvod neparnim brojem razmišljanja, onda se to naziva povratne informacije. Dakle, sve okrene linije predstavljaju ravan simetrije. Bilo odraz poliedar - je inverzna simetrija.

Da bi bolje razumjeli simetrija elemente regularnom poliedra, možete uzeti primjer tetraedra. Svaka linija koja će proći kroz jedan od vrhova i centra geometrijskog oblika, održat će se i kroz središte rubu nasuprot njemu. Svaki od zavoja 120 i 240 ° oko liniji pripada pluralnom tetraedarskog simetrije. Od toga 4 vrha i lica, dobili smo ukupno osam izravnih simetrije. Svaka od linija koje prolaze kroz sredinu rubovima i sredini tijela, ona prolazi kroz sredinu suprotnog ruba. Svaka rotacija 180 °, nazvao pola okrenuti oko ravnoj simetrije. Budući da je tetraedar ima tri para rebara, te dobiti tri linije simetrije. Na temelju navedenog, može se zaključiti da je ukupan broj izravne simetrije, uključujući i transformacije identiteta, bit će do dvanaest. Ostali izravni simetrija tetraedar ne postoji, ali ona ima 12 inverzni simetriju. Prema tome, samo 24 naznačen Tetrahedron simetrije. Za jasnoću, možemo izgraditi model redovnoj tetraedar napravljen od kartona i pobrinite se da je geometrijski tijelo zapravo ima samo 24 simetriju.

Dodekaedar i ikozaedra - najbliži području tijela. Ikozaedra ima najveći broj lica, kut otvaranja i najviše od svega se može čvrsto držati upisane sferi. Dodekaedar ima najnižu kutni kvar najveća čvrste kut na tjeme. To može povećati popuniti ograničenog područja.

skeniranje polyhedra

Redovito skeniranje polyhedra, koje smo svi zaglavili zajedno u djetinjstvu, imaju puno pojmova. Ako postoji skup poligona, sa svake strane od kojih je identificiran samo s jedne strane poliedra, identifikacija stranaka moraju biti u skladu s dva uvjeta:

• svakog poligona, možete ići na poligonu ima identifikaciju strane;
• strana identificirati trebali imati istu duljinu.

To je skup poligona koji ispunjavaju navedene uvjete, a zove se skeniranje poliedar. Svaki od tih tijela ima nekoliko njih. Na primjer, kocka koja ima 11 komada.