Različiti načini dokazivanja Pitagorinog teorema: primjeri, opis i povratne informacije

U jednoj, možete biti sigurni sto posto da je bilo koje pitanje o tome što je kvadrat hipoteza je jednako, svaka odrasla osoba hrabro će odgovoriti: "zbroj kvadrata nogu". Ovaj teorem čvrsto se smjestio u umu svake obrazovane osobe, ali dovoljno je samo tražiti od nekoga da to dokazuje, a može biti poteškoća. Stoga se prisjetimo i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Kratak pregled biografije

Pythagorasov teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je proizvela nije tako popularna. Ovo je moguće popraviti. Stoga, prije nego što proučavate različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema, mora se nakratko upoznati s njegovom osobnošću.

Pitagora je filozof, matematičar, mislilac, izvorno iz antičke Grčke. Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikog čovjeka. No, kako slijedi iz spisa svojih sljedbenika, Samosova Pitagora je rođena na otoku Samos. Njegov otac bio je zajednički kamenac, ali njegova majka je došla iz plemenite obitelji.

Sudeći po legendi, rođenje Pythagore predvidalo je žena po imenu Pythia, u čiju su čast nazvali dječak. Prema njezinu predviđanju, rođeni dječak morao je donijeti mnoge prednosti i dobro čovječanstvu. Što je zapravo učinio.

Rođenje teorema

U svojoj mladosti, Pitagora se preselila s otoka Samosa u Egipat da se upozna s poznatim egipatskim mudracima. Nakon sastanka s njima, primljen je na studij gdje je naučio sva velika postignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerojatno je u Egiptu Pitagora inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. To može šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari vjeruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. I samo je prenio svoje znanje sljedbenicima koji su kasnije ispunili sve potrebne matematičke izračune.

Što god bilo, danas nije jedna metoda dokazivanja tog teorema poznatog, već nekoliko. Danas možemo samo pogoditi koliko točno drevni Grci su napravili svoje izračune, pa ovdje razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Pitagoristički teorem

Prije početka bilo kakvih izračuna, morate saznati koju teoriju dokazati. Pythagorasov teorem glasi: "U trokutu s jednim kutom jednakim 90 ^° , zbroj kvadrata nogu jednak je kvadratu hipotenuse."

Ukupno postoji 15 različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema. Ovo je prilično velika brojka, pa pripazimo na najpopularnije od njih.

Metoda jedan

Prvo, označimo ono što nam se daje. Ti će podaci biti prošireni na druge metode dokazivanja Pitagoranskog teorema, stoga je vrijedno spomenuti sve dostupne zapise.

Pretpostavimo da se daje pravokutni trokut, s nogama a, b i hipotenuzu jednaku c. Prva metoda dokazivanja temelji se na činjenici da je kvadrat potreban za crtanje pravokutnika iz desnog trokuta.

Da biste to učinili, potrebno je nacrtati segment koji je jednak coutette na duljinu nogu i obrnuto. To bi trebalo rezultirati dvije jednake strane trga. Ostaje samo izvući dvije paralelne crte, a kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati drugi kvadrat sa stranom koja je jednaka hipotenusu izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova a i c, moramo nacrtati dva paralelna segmenta jednake c. Tako se ispostavlja tri strane kvadrata, od kojih je jedna hipoteza izvornih pravokutnih trokuta. Ostaje samo subvencionirati četvrti segment.

Na temelju rezultirajuće slike možemo zaključiti da je područje vanjskog kvadrata (a + b) ² . Ako pogledate unutar slike, možete vidjeti da pored unutarnjeg kvadrata u njoj postoje četiri pravokutna trokuta. Područje svakog od njih je 0.5aV.

Dakle, područje je: 4 * 0.5aв + sa ² = 2a + ²

Stoga (a + b) ² = 2aB + c ²

I, dakle, s ² = a ² + u ²

Dokazan je teorem.

Druga metoda: slični trokuti

Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na temelju tvrdnje iz dijela geometrije na sličnim trokutima. Kaže da je katet pravokutnog trokuta prosječan proporcionalan za njegovu hipotenuzu i segment hipotenuze podrijetlom iz vrha kuta od 90 ^° .

Početni podaci ostaju isti, pa ćemo odmah početi s dokazima. Crtanje CD-a okomito na stranu AB izvlačimo. Na temelju gore navedene izjave, noge trokuta su:

AC = √AB * AD, CB = √AB * DV.

Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati pitagorejski teorem, dokaz se mora postaviti kvadriranjem obje nejednakosti.

AC ² = AB * AD i CB ² = AB * DV

Sada moramo dodati rezultirajuće nejednakosti.

AC ² + CB ² = AB * (AD * DV), gdje je AD + DB = AB

Ispada da:

AC ² + CB ² = AB * AB

I, posljedično:

AC ² + CB ² = AB ²

Dokaz o pitagoranskom teoremu i različiti načini njegovog rješavanja zahtijevaju svestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova je mogućnost jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračuna

Opis različitih metoda dokazivanja Pitagoranskog teorema ne može se reći o ničemu, sve dok ne počnemo samostalno vježbati. Mnoge metode pružaju ne samo matematičke izračune već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.

U ovom slučaju, potrebno je završiti izgradnju još jednog pravokutnog trokuta VSD iz BC. Dakle, sada postoje dva trokuta s običnom nogom BC.

Znajući da područja sličnih figura imaju omjer kao kvadratiće njihovih sličnih linearnih dimenzija, onda:

S _avs * S ² - S _avd * u ² = S _avd * a ² - S _ave * a ²

S _avc * (c2-c2) = _a2 * (S _aug- S _vsd )

S ² -a2 = ^a2

S ² = a ² + u ²

Budući da je iz različitih metoda dokazivanja Pitagoranskog teorema za ocjenu 8 ova varijanta teško dostupna, može se koristiti sljedeći postupak.

Najjednostavniji način dokazivanja teorema Pitagora. Recenzije

Kao što povjesničari vjeruju, ova je metoda prvo korištena za dokazivanje teorema čak i u staroj Grčkoj. To je najjednostavniji jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako je crtež ispravno nacrtan, jasno će se vidjeti dokaz izjave da je ² + u ² = c ² .

Uvjeti ove metode bit će malo drugačiji od prethodnog. Da bi se dokazao teorem, pretpostavimo da je desni trokut ABC jednako jednodijelni trokut.

Uzmemo hipotezu AS-a na strani trga i imamo tri njene strane. Pored toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u dobivenom kvadratu. Dakle, da biste u njoj dobili četiri jednodijelna trokuta.

Na noge AB i CB, također morate imati dijete na trgu i nacrtati jednu dijagonalnu liniju u svakoj od njih. Prva crta izvlači se s vrha A, druga crta izvlači se iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da postoje četiri trokuta na hipotenuzu AS, jednaka izvornom trokutu, a na nogama po dva, to ukazuje na istinitost teorema.

Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja teorema Pitagore, pojavila se slavna fraza: "Pitagoreanske hlače su ravnopravne u svim smjerovima".

Dokaz G. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim toga, ostavio je trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, on je također bio darovit samouki.

Na početku karijere bio je obični učitelj u javnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samostalnim razvojem omogućila mu je da predloži novu teoriju dokaza o pitagoranskom teoremu. Teorem i primjer njegova rješenja su sljedeći.

Najprije morate nacrtati dva lista pravokutnog trokuta na listu papira na način da je katet jednog od njih bio nastavak drugog. Vrhovi tih trokuta trebaju biti spojeni, tako da se na kraju pojavljuje trapezoid.

Kao što je poznato, površina trapeza je jednaka proizvodu polumasa svojih baza do visine.

S = a + b / 2 * (a + b)

Ako uzmemo u obzir rezultirajući trapezoid kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njezino područje može naći na sljedeći način:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Sada je potrebno izjednačiti dva početna izraza

2a / 2 + s / 2 = (a + v) 2/2

S ² = a ² + u ²

O Pitagorasovom teoremu i metodama njezina dokaza, možete pisati više od jednog volumena priručnika za obuku. Ali postoji li neki smisao kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena teorema Pitagore

Nažalost, u suvremenim školskim programima, korištenje ovog teorema predviđeno je samo u geometrijskim problemima. Diplomci će uskoro napustiti školske zidove, bez znanja, i kako mogu primjenjivati svoje znanje i vještine u praksi.

U stvari, svatko može koristiti teorem Pitagoreja u svakodnevnom životu. I to ne samo u profesionalnom radu, nego iu redovitim domaćim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva u kojima bi se pitagorejski teorem i metode njegovog dokaza pokazali iznimno neophodnim.

Odnos između teorema i astronomije

Čini se, kako se zvijezde i trokuti mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je znanstveno polje u kojem je pedagog teorema široko korišten.

Na primjer, razmislite o gibanju svjetlosne zrake u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Putanja AB, koja pomiče zraku svjetlosti zove se l . I pola vremena koje je potrebno da se svjetlost dobije od točke A do točke B se zove t. I brzina zrake je c . Ispada da: c * t = l

Ako pogledamo istu zraku iz druge ravnine, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će takva promatranja tijela promijeniti njihovu brzinu. U tom slučaju, čak i fiksni elementi će se kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da komični brod pliva desno. Zatim se točkice A i B, između kojih se zraka šire, pomiču ulijevo. A kad se snop kreće od točke A do točke B, točka A se uspije pomaknuti, a prema tome svjetlost već stigne na novu točku C. Da bi pronašao polovicu udaljenosti do koje je točka A pomaknula, brzina košuljice mora se pomnožiti polovicom vremena putovanja zrake (t „).

D = t '* v

Kako bi se utvrdilo koliko bi zraka svjetlosti mogla proći kroz ovaj put, potrebno je odrediti pola staze nove bukve i dobiti sljedeći izraz:

S = c * t '

Ako zamislimo da su točke svijetla C i B, kao i kozmički sloj vertikali jednodijelnog trokuta, tada će segment od točke A do košuljice razdijeliti na dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući pitagoranskom teoremu, može se naći udaljenost koju bi mogla proći zraka svjetlosti.

S2 = l2 + d2

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo jedinice mogu imati dovoljno sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrite svjetovnije verzije primjene ovog teorema.

Radijus prijenosnog prijenosa signala

Moderni život je nemoguće zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali koliko će biti za njih da procaju, ako ne mogu povezati pretplatnike putem mobilne komunikacije ?!

Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi o visini antene mobilnog operatera. Da bismo izračunali udaljenost od mobilnog tornja, telefon može primiti signal, možemo primijeniti Pitagorejski teorem.

Pretpostavimo da trebamo pronaći približnu visinu stacionarnog tornja tako da može propagirati signal unutar radijusa od 200 kilometara.

AB (visina kula) = x;

BC (polumjer prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus Zemlje) = 6380 km;

Odavde

OB = OA + ABOV = r + x

Primjenom teorema Pitagore, saznat ćemo da minimalna visina tornja treba biti 2,3 km.

Pitagoristički teorem u svakodnevnom životu

Ironično, pitagorejski teorem može se pokazati korisnim čak iu svakodnevnim stvarima, poput određivanja visine ormara, na primjer. Na prvi pogled nema potrebe koristiti takve složene izračune jer možete jednostavno mjeriti pomoću ruleta. Ali mnogi se pitaju zašto u procesu montaže postoje određeni problemi, ako su sva mjerenja poduzeta više nego točno.

Činjenica je da je ormar montiran u vodoravnom položaju, a tek tada se diže i pričvršćuje na zid. Stoga bočna stijenka kabineta tijekom podizanja konstrukcije mora slobodno proći i visinom i dijagonalno u sobi.

Pretpostavimo da je ormar s dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa je 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja reći će da visina kabineta bude 126 mm manje od visine prostorije. Ali zašto na 126 mm? Razmotrite primjer.

Provjerimo učinak Pitagoranskog teorema za idealne dimenzije kabineta:

AC = √AB ² + √BC ²

AC = √2474 ² +800 ² = 2600 mm - sve konvergira.

Pretpostavimo da visina kabineta nije 2474 mm, ali 2505 mm. zatim:

AC = √2505 ² + √800 ² = 2629 mm.

Stoga, ovaj ormar nije pogodan za instalaciju u ovoj sobi. Od kada ga podignete u vertikalni položaj, možete oštetiti trup.

Možda, nakon razmatranja različitih načina dokazivanja teorema Pythagorasa od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je više nego istinito. Sada možete koristiti informacije primljene u vašem svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, nego i istiniti.